CINEMÁTICA BASES DA CINEMÁTICA ESCALAR

BASES DA CINEMÁTICA ESCALAR

1. REFERENCIAL

   Todo mundo já ouviu a frase: “Tudo depende do ponto de vista”. Ela é muito verdadeira, principalmente na física. Só que tomarei a liberdade de adaptá-la para “Tudo depende do referencial”. Mas o que exatamente seria “referencial”?

   Referencial é um corpo (ou conjunto de corpos) em relação ao qual são definidas as posições de outros corpos

   Para descrevermos os movimentos da cinemática, precisamos de adotarmos um referencial. Nos casos unidimensionais, trata-se simplesmente de uma reta orientada onde se escolhe a origem e a extremidade. Observe a figura abaixo:

   Na figura, percebemos que o referencial é a linha demonstrada. Ela sempre apresentará um ponto “0”, conhecido como Origem dos espaços. Funciona como o eixo x dos planos cartesianos, onde tudo o que se encontra á direita apresenta valor positivo, e o que se encontra á esquerda, negativo.

   Agora vou me adiantar um pouco. Se dois carros estão se movendo na estrada, e o referencial não for mais uma reta, mas sim um dos carros, a situação muda. Imagine dois carros viajando lado a lado em uma estrada, ambos com mesma velocidade. Se o meu referencial for um dos carros, o outro nunca sai do lugar,ele estará sempre na origem dos espaços! E ambos os carros estarão com velocidade zero em relação ao outro, mesmo que o velocímetro marque 100 km/h! Daí a importância de se saber qual o referencial. Mas não se preocupem, sempre que o referencial não for uma reta, ele será especificado na questão.

2.TRAJETÓRIA 

   Trajetória é o nome dado ao percurso realizado por um determinado corpo no espaço, com base em um referencial pré-definido. Como dito anteriormente, os conceitos físicos podem mudar absurdamente, dependendo do referencial. Observe a figura:

   Na figura notamos que a caixa em queda pode apresentar 2 trajetórias, dependendo do referencial. Por exemplo, se tomarmos o piloto do avião como referencial, a trajetória da caixa será retilínea. Ora, o avião e a caixa estavam acoplados, quando ela foi solta, continuaram a se mover com mesma velocidade. Assim, toda vez que o piloto olhar para baixo, a caixa estará na mesma direção do avião, só que cada vez mais próxima do solo. Tomando o jovem no solo como observador, a trajetória será uma parábola, pois ele está parado, enquanto a caixa foi arremessada para a frente pelo avião e é puxada para a terra pela gravidade.

3. PONTO MATERIAL E CORPO EXTENSO

   Um ponto é como chamamos um corpo ou objeto que estamos estudando. Se as suas dimensões forem importantes para a questão, chamamos ele de corpo extenso. Mas se, ao contrário, suas dimensões não influem no exercício, poderemos desprezar suas medidas e chamamos esse corpo de ponto material. Um carro viajando em uma estrada será tido como ponto material. Um carro que tem de manobrar e estacionar entre dois outros é um corpo extenso;

4. TEMPO (t)

   O tempo é, na física, tido como um dos conceitos primitivos. Conceitos primitivos na física são aqueles que não podem/ precisam de ser definidos.

O SI adota o segundo como unidade. Porém outras são comumente utilizadas:

1 min=60 s

1 hora=60 min=3600 s

1 dia=24h= 8640 s

5.INSTANTE E INTERVALO DE TEMPO (Δt)

   Instante de tempo é o valor do tempo no momento em que eu faço a pergunta. É como se você perguntasse as horas para alguém na rua, ou perguntasse para o seu colega que horas começou o jogo, ou que horas será a próxima aula de física.

   O instante é determinado por uma quantidade que simbolizaremos por “t”. Nos exercícios e física, chamamos sempre t0 o tempo em que o evento se iniciou. É a origem dos tempos. Chamamos de t1 o evento de interesse que aconteceu depois da origem dos tempos

Intervalo de tempo já representa a quantidade de tempo decorrida entre t0 e t1 , e é representado pelo símbolo Δt (delta t) .Por exemplo: Um carro iniciou viagem às 12:00 hrs e chegou no destino às 17:00 hrs. Então, o t0 = 12:00 hrs, t1 = 17:00 hrs e Δt = 12 – 17= 5 hrs.

Logo: Δt= t1 - t0

 

6.ESPAÇO (s) E DESLOCAMENTO (Δs)

   Para entendermos esse conceito, primeiro precisamos definir a trajetória de um corpo. Falamos já sobre ela na parte de referencial, lembra?

Pois bem, espaço é a grandeza que determina a posição de um móvel numa determinada trajetória, a partir de uma origem arbitrária (origem dos espaços). As unidades de espaço são: cm, m, km, etc. O símbolo de espaço é “s”. Veja abaixo:

                      Na figura, temos uma trajetória dada pela linha vermelha, com origem dos espaços e sentido para a direita. Assim, o espaço do carro no instante t=2s é 3 m, enquanto que no instante inicial t0 o seu espaço é -2m. Importante: nem sempre t0 estará na origem dos espaços!

   O deslocamento já é a variação dos espaços, e é representado pelo símbolo Δs. Por exemplo, o deslocamento do móvel do instante t0=1s e t1=2s é: Δs= s1-s0= 3-0=3 m. Já o deslocamento do instante t0=0 a t1=3 será: Δs= s1-s0 = 6-(-2) = 8 m

Note que, se a posição inicial e a final coincidirem, como em uma volta em uma pista circular, o deslocamento será zero. Se a partícula mover-se no sentido da trajetória, s1 será maior que s0 e Δs será positivo. Se mover-se em sentido contrário, s1 será menor que s0 e o Δs, negativo.

  

7.DISTANCIA PERCORRIDA :Enquanto que no deslocamento consideramos a posição final menos inicial, para calcularmos distância percorrida nos preocupamos com a trajetória. Veja a figura abaixo:

Considere sA=0km e sB=30Km

Diferentemente do deslocamento, que bastaria saber a posição final e subtrair da inicial, para definirmos a distância precisaremos levar em conta as tortuosidades da trajetória. No caso, o valor da distância percorrida é

50km, enquanto o deslocamento é apenas 30 km. Outro exemplo:

Neste segundo caso, o deslocamento da partícula seria: Δs= s1 - s0 = 3 - (-2) = 5. Já a distância percorrida seria: |Δs| = |sida| + |svolta |= |6 –(-2) | + |6-3 | = 11. As barras verticais indicam que, se o resultado da operação for negativo, trocarei o sinal para positivo. Em suma, na distância percorrida não me preocupo com o sentido da trajetória, considero todos os valores como positivos. A distância percorrida é uma grandeza escalar, enquanto que o deslocamento é vetorial.

 

8.MOVIMENTO E REPOUSO

   Dizemos que uma partícula está em movimento quando sua posição muda com o passar do tempo, para um dado referencial. Quando a partícula assume sempre a mesma posição com o passar do tempo, dizemos que ela está em repouso (parada). Novamente reforço a importância do referencial para a física. Observe a figura acima. Se o meu referencial é a estrada, ou uma pessoa parada na rua observando esses carros, podemos dizer que eles estão em movimento. Contudo, se eu tomar o carro vermelho como referencial, e assumir que os dois carros estão com a velocidade sempre igual, diremos que o carro azul está em repouso, e vice-versa. É o que ocorre quando, em uma viagem, você está atrás de um carro e nem ele nem você mudam a velocidade: a sensação é de que o carro na frente está parado. Lembrando que esses conceitos são simétricos: Se o carro vermelho está em movimento em relação ao azul, o azul está em movimento em relação ao vermelho.

9.VELOCIDADE MÉDIA E ESTANTÂNEA

.                                                           

   De acordo com elas, um carro partiu às 6hrs da manhã de uma cidade situada no km 10 de uma rodovia. Continuando a viagem, o carro chegou ás 10 horas da manhã na outra cidade, que está no km 250. Assim, podemos dizer que o deslocamento do veículo foi de 240 km (250km -10km), durante um intervalo de tempo de 4 horas (10h-6h). Dessa forma, podemos afirmar que, em média, a variação do espaço foi de 60km por hora (240km/4h). Essa grandeza é chamada de velocidade média, e definida por vm . Assim, enunciamos:

A unidade no SI é m/s (metros/ segundo). Contudo, km/h é comumente utilizado também. Eventualmente, a questão pode misturar dados com unidades diferentes. Logo, precisamos saber converter essas duas unidades entre si:

   Essa velocidade média pode assumir ainda valores positivos e negativos. Se o movimento se dá no sentido da trajetória, a variação dos espaços será positiva e, consequentemente, a velocidade também. Chamamos isso de movimento progressivo. Se o móvel se desloca contra a trajetória, teremos velocidade negativa e O movimento será retrogrado

   No primeiro exemplo do tópico, obtivemos Vm=60km/h. Isso não significa que o carro percorreu necessariamente 60 km em cada hora. Obviamente, ele não manteve o mesmo valor de velocidade toda a viagem. Pode ser que ele tenha percorrido 80km na primeira hora, 50 km na segunda, 40 km na terceira, 70 km na quarta. Por isso, dizemos que percorreu, em média, 60 km em cada hora. Contudo, se em um dado momento da viagem, o motorista olhar para o velocímetro, ele encontrará um valor. A esse valor em determinado instante “t” do movimento, chamamos de velocidade instantânea

10.ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTANEA

   Quando estamos em uma viagem em família e o motorista está muito devagar, o que falamos? “acelera ai!” Logo intuitivamente você tem uma noção do que seja aceleração: é algo que modifica a velocidade. Contudo, erroneamente você acredita que aceleração só se aplica para aumentar a velocidade, mas na verdade quando reduzimos, também temos aceleração. Podemos definir então aceleração como:

   Aceleração: variação das velocidades instantâneas ocorrida por unidade de tempo, para um dado intervalo.

Logo: Sua unidade, no SI, é m/s², mas também pode aparecer km/h²

am=

Vamos a um exemplo:

Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que ao meio dia (t1 = 12h) sua velocidade escalar é v1 = 60 km/h e às duas horas da tarde (t2 = 14h) sua velocidade escalar é v2 = 90 km/h.

   No caso, percebemos que a velocidade variou, como esperado em uma viagem. Isso significa que há aceleração, que é dada pela variação da velocidade (v2 - v1 = 90 – 60 = 30) pela variação do intervalo de tempo (t2-t1=14h-12h=2h), e seu valor é 15km/h2 (30/2). Neste caso vimos um movimento em que a velocidade aumenta com o tempo. Logo, a aceleração é positiva e temos um movimento acelerado

  

Mais um exemplo:

   Perceba que o carro está reduzindo a velocidade. Isto também é aceleração, pois varia a velocidade, só que teremos agora uma aceleração negativa. Imagine que passaram-se duas horas de A até C.

Assim, a aceleração no intervalo AC será: 20km/h – 60km/h / 2 hrs = -20km/h²

O sinal negativo da aceleração indica que o carro está freando, e ela está trabalhando contra a velocidade. Temos então um movimento retardado. Para fixar:

Carro em movimento acelerado e caminhão em movimento retardado.

IMPORTANTE:

Para ser acelerado, a velocidade e a aceleração devem ter o mesmo sinal

Para ser retardado, velocidade e aceleração devem ter sinais contrários

   A aceleração instantânea é análoga á velocidade instantânea: trata-se da aceleração em um instante determinado, ada pela variação da velocidade instantânea.

TIPOS DE MOVIMENTO: ACELERADO, RETARDADO E UNIFORME

   Enfim, entramos no último tópico antes de iniciarmos o estudo da mecânica/cinemática em si. Você já percebeu que um objeto qualquer, seja um carro, um avião, ou uma pessoa, podem estar em repouso ou em movimento, de acordo com o seu referencial. Quando ele está em movimento, ele pode se mover sempre com velocidade constante ou pode variar a sua velocidade, aumentando-a ou diminuindo. No primeiro caso, temos o chamado movimento uniforme, enquanto no segundo, temos movimento uniformemente variado, podendo ser acelerado ou retardado.

Grandezas básicas v x t m = D D (m/s) a v t = D D (m/s2) 1 3 6 m s km h = , 1h = 60 min = 3600s 1m = 100 cm 1km = 1000 m

M.U. rDx = v.t v = constante M.U.V. Dx v t at o = . + 2 2 v v a t o = + . v v a x o 2 = 2 + 2. .D v v v m = + o r 2 a = constante

M.Q.L. Dh v t gt o = . + 2 2 h v g max = o 2 2 t v g h max o _ =

M.C.U. v = w . R (m/s = rad/s.m) w = p = p 2 2 T . f a v R R c = = 2 w 2 . f n voltas t = º D (Hz) T t n voltas = D º (s)

Exercicios

Velocidade média e velocidade instantânea

a)   Um automóvel passou pelo marco 100 km de uma estrada às 13 h. Às

15 h, ele estava no marco 260 km. Qual foi a velocidade média do

Automóvel neste trecho de estrada?

b)   Um carro de Fórmula 1 descreve um movimento em que sua velocidade

instantânea é de 288 km

h

. Determine o valor da velocidade

em ms

  

c)   Um barco é erguido

24 m no interior de um eclusa, num

intervalo de tempo de 40 min. Sua

velocidade média de ascensão é:

MOVIMENTO UNIFORME

1. DEFINIÇÃO

   Como dito na outra seção, movimento uniforme é aquele cuja velocidade nunca varia, ela se mantem constante e diferente de zero (se for zero é repouso, não movimento). Isso significa que não existe aceleração nesse movimento!  

Essa imagem mostra bem o que acontece: ocorrem sempre as mesmas variações de espaço por cada segundo!

   Agora, precisamos atentar que o movimento uniforme serve para qualquer tipo de trajetória, tanto reta quanto curvilínea. Sendo assim, teremos basicamente dois tipos de movimento uniforme: o retilíneo (cuja sigla é MRU- movimento retilíneo uniforme) e o curvilíneo (MCU- movimento curvilíneo uniforme). Ambos apresentarão velocidades constantes, por serem uniformes. Vamos trabalhar cada um separadamente

M.R.U.- MOVIMENTO RETILINEO UNIFORME

   Então para finalizar: MRU é um movimento uniforme (v constante) cuja trajetória é uma reta. Lembrando ainda que o MRU pode ser progressivo (“para frente”, à favor da trajetória) ou retrogrado (“para trás”, contra o sentido da trajetória), onde o primeiro apresenta velocidade positiva e o segundo, negativa:

  

  

Não confunda com posição negativa! Se o móvel vai da posição -5 para -2, ele é progressivo! Apesar de estar na parte negativa da trajetória, ele está caminhando para a origem, “para frente”!

  

REPRESENTAÇÕES GRAFICAS:

2.1. GRÁFICO VxT

   Podemos representar o M.R.U. graficamente de duas formas. A primeira, mais fácil e obvia, é o gráfico velocidade por tempo. Ora, sabemos que a velocidade dos movimentos uniformes é constante. Logo, teremos essa forma de gráfico:

O gráfico VxT será sempre uma reta paralela ao eixo x, pois a velocidade não varia!

Agora, lembra que ele pode ser progressivo (v>0) ou retrogrado (v<0)? Logo:

  

             

Um dado interessante é que a área sobre o gráfico é equivalente à distância percorrida:

FUNÇÃO HORARIA – GRAFICO SxT

Essa é a segunda forma de se representar, agora em um gráfico posição por tempo. Só que eu não apresentei uma formula para vocês em função de “s”, só em função de “v”. Então como construir um gráfico em função da posição? Simples, basta transformar a nossa clássica formula:

  

    ΔS = v. t onde ΔS = S - So ; substituindo, teremos: S – So = v . t ==> S = So + v . t

Chegamos então na clássica fórmula do sorvete

Percebam q ela é igual à função de 1° grau da matemática, y=ax+b, com “s” equivalendo a “y”, “v” igual a “a”, “t” a “x” e “s”.

Logo, já podemos inferir que a reta sempre corta o eixo das ordenadas no ponto “So”. Além disso, se o movimento for progressivo, teremos V>0 e o gráfico fica positivo. Quando o movimento for retrogrado, teremos v<0, e o gráfico fica negativo.  Veja os exemplos adiante:

Exemplo de função horaria. Se o móvel não sair da origem dos espaços, a reta não sai do ponto (0,0) do gráfico, mas vai cortar o eixo das abscissas no ponto da posição inicial

A seguir, exemplo de movimento progressivo (gráfico da esquerda) e retrogrado (gráfico da direita

  

               

Isso é tudo que nos interessa saber para realizar os principais exercícios de provas sobre MRU! Vamos testar então o que aprendemos?

ATIVIDADES

Um móvel realiza um movimento uniforme e seu espaço varia com o tempo segundo a tabela:

a) Classifique o movimento dizendo se é progressivo ou retrógrado. b) Calcule e velocidade escalar do móvel. c) Qual é o espaço inicial do móvel. d) Escreva a função horária dos espaços. e) Construa o gráfico s x t.

RESPOSTA:

a) O movimento é retrógrado pois os espaços s decrescem com o decorrer do tempo. b) v = Δs/Δt0=> v = (17-20)/(1-0) => v = -3 m/s c) Para t = 0, temos s0 = 20 m d) s = s0 + vt => s = 20 - 3t (SI)

2) Dois automóveis, A e B, deslocam-se numa pista retilínea com velocidades escalares vA = 20 m/s e vB = 15 m/s. No instante t = 0 a distância entre os automóveis é de 500 m. Qual é a distância que o carro que está na frente percorre, desde o instante t = 0,

  

até ser alcançado pelo carro de trás? Considere os carros como pontos materiais. RESPOSTA: 1500 m

3) Um trem de 300 m de comprimento atravessa completamente um túnel de 700 m de comprimento. Sabendo se que o trem realiza um movimento uniforme e que a travessia dura 1 minuto, qual é a velocidade do trem, em km/h? Resposta: 60 km/h

4) Um ciclista realiza um movimento uniforme e seu espaço s varia com o tempo conforme indica o gráfico. Determine o espaço inicial s0 e a velocidade escalar v.

Respostas: -10 m e 5 m/s